함수의 정의

함수

함수는 하나의 변량이 다른 변량에 의존할 때 나타난다.

ex)

원의 넓이 A는 원의 반지름 r에 의존한다. A=pi r^2

인구수 p는 시간 t에 의존한다.

온도 T는 높이 h에 의존한다.

 

정의1) 함수

1. 두 변수 x와 y에 대해 x값이 정해지면 이에 따라 y값이 결정될 때 y를 x의 함수라고 한다.

2. 함수는 X의 각 원소 x에 Y의 원소를 하나씩만 대응시키는 규칙이다.

 

* 두 변량사이의 관계에 대해서 알면 하나의 값으로 다른 값을 측정할 수 있다.

 

정의2) 함수

곱집합 X*Y ={(x,y)|x∈,y∈Y}의 부분집합 f가 다음 두 조건을 만족시킬 때 f를 집합 X에서 집합 Y로의 함수라 한다.

1. 모든 x∈X에 대해, (x,y)∈f 인 y∈Y가 존재한다.

2. (x,y)∈f 이고 (x,z)∈f이면, y=z이다.

 

여기서 X를 함수 f의 정의역, Y를 함수 f의 공역이라 한다. X에서 Y로의 함수 f를 나타낼 때 f:X->Y로 쓰며, 특히 f(X)={y∈Y|(x,y)∈f}를 함수f의 치역이라 한다.

 

함수 f X->Y의 대응규칙을 명시할 때는 y=f(x)로 나타내며 x를 독립 변수, y를 종속 변수라 한다.

f(x)를 f에 의한 x의 상, 또는 값 이라 하며 x를 f에 의한 y의 원상이라 한다.

특히, y∈f에 대해 y의 원상들의 집합을 f^-1(y)로 나타낸다. 

 f^-1(y)={x∈X|y=f(x)}

 

*함수의 정의에서 조건(1)은 정의역 X의 모든 원소에 공역 Y의 원소가 반드시 대응함을 뜻하고,

조건(2)는 X의 각 원소에 대해 Y의 원소가 단 하나 대응함을 의미한다.

 

*함수 f={(x,f(x))|x∈D}⊂X*Y는 xy-평면에서 곡선을 표현한다.